日前，北京理工大学太平洋在线娱乐官网教师郦言与北京化工大学数理学院教师李振业在期刊《International Mathematics Research Notices》上合作发表了题为《Finiteness of Q-Fano Compactifications of Semisimple Groups with Kähler–Einstein Metrics》的研究论文。该研究证明了对于连通、半单复Lie群G，具有Kähler-Einstein度量的Q-FanoG-紧化空间只有至多有限个。

约化复Lie群的紧化空间是一类有高度对称性的代数簇，它的几何结构往往有显式的组合表达。近年来，人们在这类空间中构造了一系列例子，如构造存在特定典则度量（如Kähler-Einstein度量、各种孤立子度量）的Fano簇，Kähler-Ricci流的第二类奇点等。这些例子回答了几何分析中许多热点问题，表明研究Lie群紧化空间对于认识几何课题、检验重要的几何猜想都十分有意义。T. Delcroix [1]首先给出了连通、约化复Lie群的光滑Fano紧化空间上存在Kähler-Einstein度量的组合判据；郦言-田刚-朱小华[2]用变分法证明了上述判据对满足klt条件的Q-Fano紧化空间也成立。另一方面，郦言-田刚-朱小华[3]证明了K-不稳定光滑SO4-Fano紧化空间上的Kähler-Ricci流产生第二类奇点，若其极限是Q-Fano SO4紧化空间，则它必定具有（奇异）Kähler-Einstein度量且与初始流形有相同的体积。[2]对半单群SO4证明了同时满足这两个条件的极限空间不存在，因此相应的Kähler-Ricci流极限空间不再是SO4-紧化空间。

论文进一步穷举了所有带（奇异）Kähler-Einstein度量的SO4-紧化空间。实际上，论文证明了对一般的连通、半单复Lie群G，具有（奇异）Kähler-Einstein度量的Q-FanoG-紧化空间都只有至多有限个，并给出了穷举这些紧化空间的算法。

[1] Delcroix, T.: Kähler-Einstein metrics on group compactifications. Geom. Funct. Anal. 27 (2017), 78–129.

[2] Li, Y., Tian, G., Zhu, X.-H.: Singular Kähler-Einstein metrics on Q-Fano compactifications of Lie groups. Math. Eng. 5 (2023), Paper No. 028, 43 pp.

[3] Li, Y., Tian, G., Zhu, X.-H.: Singular limits of Kähler-Ricci flow on Fano G-manifolds. To appear in Amer. J. Math.

论文链接地址：

https://academic.oup.com/imrn/article/2022/15/11776/6231716

【课题组及负责人简介】

北京理工大学太平洋在线娱乐官网几何团队积极开展前沿问题研究，近年取得了一系列重要研究成果。

郦言，本科毕业于浙江大学数学系，博士毕业于北京大学数学科学学院，曾在北京国际数学研究中心从事博士后研究。主要研究齐性空间及其紧化空间上的几何分析问题。主持国家自然科学基金青年项目。曾在Journal of Functional Analysis，Mathematische Zeitschrift，Математичский Сборник等期刊发表SCI论文多篇。